غير المتوقع هو ما يحدث دائما

اليزابيث: أبتي، هل يمكنني الزواج من ميشال؟

الملك: أجل، إذا تمكن ميشال من قتل النمر المختبئ خلف أحد هذه الأبواب الخمسة. عليه أن يفتح الأبواب بانتظام، واحدا تلو الآخر، مبتدأ من الباب رقم 1. سيكون النمر مفاجأة، لآن ميشال لا يمكنه تخمين مكانه.

عندما رأى ميشال الأبواب قال في سره: "إذا كانت الأربع أبواب الأولى تفتح على أربع غرف فارغة، يمكنني أن أعرف أن النمر يختفي خلف الباب الخامس. ولكن بما أن الملك قال بأنني لن أستطيع تخمين مكان النمر، فالنمر لا يمكن أن يكون خلف الباب رقم خمسة. سأستثني إذن الباب رقم خمسة. في هذه الحالة النمر يوجد في الأربع غرف الأخرى. ماذا سيحدث لو فتحت ثلاث غرف فارغة؟ سيكون النمر بكل تأكيد في الغرفة رقم أربعة، لكن ذلك لن يكون مفاجئا لأن النمر لا يمكن أن يكون في الغرفة رقم خمسة. فلأستثني كذلك الغرفة رقم أربعة".

وبنفس طريقة التفكير، برهن ميشال على أن النمر لا يمكن أن يكون خلف الأبواب رقم ثلاثة ورقم اثنين ورقم واحد. وابتهج ميشال بالنتيجة التي توصل إليها: "لا يوجد أي نمر خلف هذه الأبواب، فلو كان موجودا لما أمكن أن يكون وجوده غير متوقع". برهن ميشال بهذه الطريقة على عدم وجود النمر المفاجأة. وأسرع يفتح الأبواب. ولدهشته، وثب عليه النمر الذي لم يكن يتوقع وجوده، من الغرفة رقم اثنين. وهكذا كان الملك عند وعده. ولحد الآن لم يتمكن علماء المنطق من معرفة أين أخطأ ميشال في طريقة تفكيره.

يجمع أغلب الناس على أن الجزء الأول من تفكير ميشال هو تفكير سليم. فالنمر لا يمكن أن يكون خلف الباب الأخير. ولكن لو قبلنا ذلك على أساس أنه محض استنتاج، نكون مجبرين على قبول بقية استنتاجه. فلو أن النمر لا يوجد خلف الباب الأخير فإنه لا يوجد خلف أي باب من الأبواب الأولى. إلا أنه من السهل البرهنة على أن هذا التفكير بدأ بداية خاطئة. فلنفترض مثلا أن ميشال فتح كل الأبواب ما عدا الباب الأخير. فهل يمكننا الاستنتاج بأن النمر لا يختفي خلف ذلك الباب؟ كلا، لأنه لو اعتمد ذلك الاستنتاج وقام بفتح الباب فسيجد مفاجأة في انتظاره. وتظل المفارقة قائمة حتى لو تعلق الأمر باب واحد.

لقد أجمع علماء المنطق على أن الملك كان يعرف أنه سيفي بوعده، إلا أن ميشال كان يجهل ذلك. ولذلك فميشال لم يكن يملك ما يكفي من الأسباب للاعتقاد بغياب النمر من كل الغرف بما في ذلك الغرفة رقم خمسة.

سـحـر الـمـفـارقـات، مارتن غاردنر، ترجمة وتقديم روضة السالمي

من المهم أن تكون شخصا بلا أهمية

في الواقع هنالك دائما أناس مهمون وأناس غير مهمين.

يقول روبار: أنا أفضل لاعب كرة قدم في العالم.

يقول فيكتور: أنا بمقدوري العزف على الغيتار بأصابع رجلي.

يمكننا إذن أن نملأ قائمة بأسماء الأشخاص غير المهمين. وقائمة أخرى باسم الأشخاص المهمين. في القائمة الأولى نجد اسم أكثر الأشخاص عدم أهمية في الكون. ولكن هذه الخاصية تجعل منه شخصا مهما جدا. علينا إذن أن نقوم بضمه لقائمة الأشخاص المهمين. غير أنه وبغياب الشخص رقم 1 في قائمة الأناس غير المهمين يتحول الشخص رقم 2 إلى أكثر الأشخاص عدم أهمية في العالم. ونضطر حينئذ لنقله للقائمة الأخرى مثلما فعلنا مع الشخص رقم 1. وهكذا دواليك.

هذه المفارقة المسلية، التي يجب عدم أخذها على محمل الجد، تمّ استنباطها للبرهنة على أن كل الأعداد هي أعداد مهمة. يمكننا أن نطرح عدة تساؤلات حول هذه المفارقة:

1/ هل أن الدليل الذي تم تقديمه، هو دليل حقا؟

2/ في حال قمنا بتسجيل الشخص الثاني في قائمة الأشخاص غير المهمين على قائمة الأشخاص المهمين، هل يفقد الشخص غير المهم الأول أهميته ويعود لطبيعته غير المهمة؟ أم يبقى مهما؟

3/ هل هنالك من معنى في قولنا: كل شخص هو مهم لأنه أقل الأشخاص أهمية؟ مثلما هو الحال بالنسبة لكل عدد طبيعي الذي يمكنه أن يكون مهما لأنه أصغر عدد في نوعه؟

4/ إذا كان الجميع (أو كل عدد طبيعي) مهما، فهل تحتفظ صفة "مهم" بمعناها؟

سـحـر الـمـفـارقـات، مارتن غاردنر، ترجمة وتقديم روضة السالمي

حلاق إشبيلية

أوجد بارتراند روسال (Bertrand Arthur William Russell) مفارقة الحلاق. فعلى باب حلاق اشبيلية يمكننا أن نقرأ ما يلي: "لا أحلق سوى لرجال اشبيلية الذين لا يحلقون لأنفسهم". ولكن من يحلق للحلاق؟

لو كان يحلق لنفسه، يكون في هذه الحالة منتميا لمجموعة الرجال الذين يحلقون لأنفسهم، ولكن المكتوب أمام دكانه يؤكد بأنه لا يحلق للرجال المنتمين لتلك المجموعة. ونتيجة لذلك فإنه لا يستطيع أن يحلق لنفسه.

لنفترض مثلا بأن شخصا آخر يحلق للحلاق، يصبح الحلاق حينها منتميا لمجوعة الرجال الذين لا يحلقون لأنفسهم. غير أن المكتوب أمام دكانه يؤكد أنه الوحيد الذي يحلق للرجال الذين ينتمون لهذه المجموعة. ونتيجة لذلك لا يمكن لأي شخص آخر أن يحلق للحلاق. وبالفعل لا يمكن لأي شخص أن يحلق للحلاق.

لقد استعمل بارتران روسل هذا المثال ليبرز المفارقة الشهيرة التي اكتشفها والمتعلقة بالمجموعات. إذ يبدو أن بعض المجموعات تحتوي على نفسها. سأعطي مثالا على ذلك: فالمجموعة التي تحتوي على كل ما ليس تفاحا هي أيضا شيء ليس بتفاح ويجب أن تحتوي على نفسها. ولننظر مثلا لمجموعة كل المجموعات التي لا تحتوي على نفسها، هل تحتوي على نفسها؟ مهما كانت الإجابة فمن المؤكد أنها ستحتوي على تناقض.

تعتبر هذه المفارقة من بين المنعرجات الحاسمة في تاريخ المنطق. كان غوتلوب فراجي (Friedrich Ludwig Gottlob Frege)، عالم منطق ألماني مشهور، قد انتهى لتوه من كتابة الجزء الثاني من كتابه "أسس الرياضيات" والذي يعتبر ثمرة مجهود حياته بأكملها، وضع فيه ما كان يعتقد أنه نظرية المجموعات التي يمكنها أن تكون أساس كل علوم الرياضيات. حيث تمكن نظريته من تكوين مجموعة تتكون من كل المجموعات التي لا يمكنها أن تنتمي لنفسها. وكان الكتاب تحت الطبع عندما تلقى غوتلوب فراجي رسالة، سنة 1902، من بارتران روسل يشرح فيها مفارقة الحلاق. حينها فهم فراجي أن هذه المجموعة،التي توصل إليها والمنطقية في ظاهرها كانت غاية في التناقض في باطنها. لم يبق له حينها سوى بعض الوقت ليكتب مقدمة صغيرة بدأها كالتالي: "من الصعب أن يتمكن أي عالم من مواجهة شيء مؤسف يزعزع أسس عمله تماما في الوقت الذي يفرغ منه.. لقد وضعتني في هذا الموقف رسالة من السيد بارتران روسل...".  ويقولون بأن استعمال كلمة "مؤسف" تعتبر أكبر عبارة تهوين قيلت في تاريخ الرياضيات.

سـحـر الـمـفـارقـات، مارتن غاردنر، ترجمة وتقديم روضة السالمي، 2004

التمساح والطفل

يحب الفلاسفة اليونانيون رواية هذه القصة حول التمساح الذي أمسك يوما بطفل وقال لأمه:

التمساح: هل سآكل طفلك؟ كوني صادقة في إجابتك وسأعيده لك سالما.

الأم باكية: آه، آه أنت ستأكل طفلي.

التمساح: ما العمل؟ إذا أعدت لك طفلك، تكونين قد كذبت، ويكون علي حينها أن ألتهم الطفل. ولكن لو التهمته، تكونين حينها قد قلت الصدق، ويكون علي حينها أن أعيد لك الطفل سالما.

أصبح ذهن التمساح مشوشا إلى درجة أنه ترك الطفل يعود سالما لأمه، التي احتضنته وهربت مسرعة.

التمساح: تبا، فقط لو أنها قالت بأنني سأعيد لها الطفل، لكنت قد استمتعت بوليمة فاخرة.

فلنعاين بانتباه أكثر هذه المفارقة الشهيرة. لقد قالت هذه المرأة الذكية للتمساح "أنت ستأكل طفلي" ومهما فعل التمساح فإن ذلك سيكون مخالفا لوعده. فلو يعيد الطفل، تكون المرأة قد قالت كذبا، مما يعطيه الحق في التهامه، ولو أكل الطفل، تكون المرأة صادقة ويكون عليه حينها أن يعيد الطفل لأمه سالما. لقد أطبق على هذا التمساح فخ المفارقة المنطقية حيث لا يمكنه الهرب من دون أن يناقض نفسه.

ولنفترض مثلا بأن المرأة قالت "أنت ستعيد لي طفلي". عندها يمكن للتمساح إما أن يعيده أو أن يأكله، وفي كلتا الحالتين لا يناقض نفسه. فلو يطلق سراحه، تكون المرأة صادقة والتمساح يكون عندها قد وفى بوعده. ولكن، لو أراد التمساح أن يكون شريرا، يمكنه أن يأكل الطفل، الشيء الذي يجعل قول المرأة كاذبا ويسمح للتمساح بعدم إعادة الطفل.

سـحـر الـمـفـارقـات، مارتن غاردنر، ترجمة وتقديم روضة السالمي

آليس وملك القلوب

تقول آليس: أحلم بملك القلوب، الذي هو بدوره نائم ويحلم بأنني نائمة أحلم أنه نائم ويحلم بي. متى سيتوقف كل هذا؟
تقع الحلقة التي يحدث فيها اللقاء بين ملك القلوب وآليس في الفصل الرابع من رواية "من خلال المرآة". الملك نائم، وهنالك من يخبر آليس بأن الملك يحلم بها. وبأنه لا وجود لها، من حيث هي كائن مستقل، سوى كواحد من الأشياء التي يحلم بها الملك. "فلو استفاق الملك الموجود هنا.. ستنطفئين، أووف، كضوء شمعة".
لا يجب أن ننسى أن كل هذه الأشياء تحدث في حلم آليس. فهل الملك "شيء" في أحلامها، أم أنها هي "شيء" في أحلام الملك؟ أين هي الحقيقة وأين هو الحلم؟ إن الارتداد هنا، هو ارتداد دائري، مثل ذلك الرسم الشهير لموريتس إيشر حيث تقوم اليد "أ" برسم اليد "ب" التي ترسم اليد "أ" التي بدورها ترسم اليد "ب".
يقودنا هذا الحلم الثنائي إلى فكرة فلسفية عميقة حول طبيعة الحقيقة. وفي هذا الصدد يقول بارتراند روسال "لو لم يقع التعامل مع هذا الموضوع ببعض الهزل لكان من المستحيل علينا تحمله".
مترجم عن كتاب "سـحـر الـمـفـارقـات" (La magie des paradoxes) لمارتن غاردنر (Martin Gardner) ترجمة وتقديم روضة السالمي 2004، نشر ضمن المجلة العلمية للفتيان الصادرة عن الألكسو

شارل داروين بين التطوّر والانتخاب الطبيعي

ولد شارل روبار داروين (Charles Robert Darwin) عالم حيوان، المشهور بنظرية التطور ومبدأ الانتخاب الطبيعي، ونشأة الإنسان، في إنجلترا سنة 1809، وتوفي سنة 1882، وهو عالم تاريخ طبيعي بريطاني، اكتسب شهرة واسعة بفضل نظريته عن التطور. ومكّنته رحلته على متن سفينة "البيغل" والتي دامت خمس سنوات (1831-1836) من ملاحظة الأحياء، ودراسة التحول في الكائنات الحية عن طريق الطفرات، وتطوير نظريته الشهيرة حول الانتخاب الطبيعي عام 1838. وقد توقّع داروين ردّة الفعل الذي يمكن أن تحدثه هذه النظرية، فلم يصرّح بها في البداية إلا إلى أصدقائه المقربين، في حين تابع أبحاثه ليحضّر نفسه للإجابة على الاعتراضات التي كان يتوقعها على نظريته. وفي عام 1858، علم داروين أن ألفريد ولاس (Alfred Russel Wallace)، يعمل على نظرية مشابهة لنظريته، فاضطر إلى نشر نتائج بحثه، في حين بقي حائرا في ما يتعلّق بالحلقة المفقودة، التي تتوسط الانتقال من طبيعة القردة للإنسان الحديث. أصدر داروين كتابه "أصل الأنواع" في عام 1859، والذي كان بمثابة نقطة البداية في دخول فكرة الأصل المشترك للكائنات لتفسير التنوع في الطبيعة في المجتمع العلمي. عيّن بعدها عضوًا في المجمع الملكي، وتابع أبحاثه وتأليفه للكتب عن النباتات والحيوانات، بما فيها الإنسان. ومن أبرز كتب داروين كتاب "سلالة الإنسان"، وآخر ما كتبه كان حول "دودة الأرض".

الجملة ونقيضها

"تضم هذه الجملة سبعة كلمات". كم يوجد في هذه الجملة من كلمة؟ خمسة كلمات. إذا فمن الواضح أنها خاطئة. ومن هذا المنطلق فعكسها صحيح. "لا تتكون هذه الجملة من سبعة كلمات". خطأ. فالجملة المناقضة تحتوي على 7 كلمات. فهي إذن خاطئة كسابقتها. كيف سنحل هذه المتاهة؟ الشخص الذي استنبط هذه المفارقة ليس معروفا. سأعطيكم الآن مفارقة أخرى غاية في الطرافة: بين هذه المقترحات الحسابية الموجودة هنا، هنالك ثلاث خاطئة:

1)      2+2=4

2)      6X3=17

3)      8/4=2

4)      13-6=5

5)      5+4=9

الإجابة: فقط العملية الحسابية رقم 2 ورقم 4 خاطئة. ونتيجة لذلك فالجملة التي تقول بأن "من بين هذه المقترحات الحسابية الموجودة، هنالك ثلاثة مقترحات خاطئة"، هي جملة خاطئة، مما يجعل منها المقترح الحسابي الخاطئ رقم 3 المطلوب إيجاده.

مترجم عن كتاب "سـحـر الـمـفـارقـات" (La magie des paradoxes) لمارتن غاردنر (Martin Gardner) ترجمة وتقديم روضة السالمي 2004، نشر ضمن المجلة العلمية للفتيان الصادرة عن الألكسو.

سـحـر الـمـفـارقـات

ايبيميناد وأهل الكريت

يقول ايبيميناد: كل أهل الكريت كذابون.
هل قال ايبيميناد الحقيقة؟ لو كان الأمر كذلك فأهل الكريت كذابون. ولكن، بما أن ايبيميناد من الكريت فهو يكذب إذن. فهل كان يكذب؟ لو كان يكذب فأهل الكريت ليسوا كذابين، وايبيميناد قال الحقيقة بما أنه من الكريت. فكيف يمكننا أن نكذب وأن نقول الصدق في نفس الوقت؟
كان ايبيميناد يونانيا غير أننا غير متأكدين من حقيقة وجوده. وتعتبر المفارقة التي تنسب إليه متناقضة منطقيا لو أننا اعتمدنا القاعدة التي تقول بأن الكذابين يكذبون دائما وأن الصادقين يقولون الصدق دائما. ومن ذلك المنطلق لا يمكن اعتبار الفرضية القائلة بأن "كل أهل الكريت كذابون" فرضية صادقة لأنها ستجعل من ايبيميناد كذابا ومن قوله كذبا. غير أنها في نفس الوقت لا يمكنها أن تكون خاطئة لأنها حينها ستقول بأن أهل الكريت ليسوا كذابين مما يعني بأن ايبيميناد قال الصدق وأن كل أهل الكريت كذابون...

لقد انشغل علماء المنطق اليونانيون زمنا طويلا بتلك الفرضيات التي تبدو منطقية ظاهريا غير أنه لا يمكن تأكيدها أو نفيها من دون أن تناقض نفسها. وقد كتب كريسيب الرواقي ستة مسائل حول مفارقة الكذاب، غير أنه، وللأسف، لم تصلنا منها أية مخطوطة.

مترجم عن كتاب "سـحـر الـمـفـارقـات" (La magie des paradoxes) لمارتن غاردنر (Martin Gardner) ترجمة وتقديم روضة السالمي 2004، نشر ضمن المجلة العلمية للفتيان الصادرة عن الألكسو. ولد مارتن غاردنر يوم 21 أكتوبر سنة 1914 بالولايات المتحدة الأمريكية، وتوفي يوم 22 ماي 2010. اهتم منذ طفولته بالعلوم الصحيحة والألعاب السحرية، و في دراسته الجامعية توجه نحو الفلسفة حيث تحصل على الإجازة فيها سنة 1936.
اشتغل في الصحافة والتأليف وتقديم عروض السحر حتى الحرب العالمية الثانية التي شارك فيها. وبعدها أصبح كاتبا حرا كتب الشعر وروايات الخيال العلمي والقصص للفتيان.
كتب مارتن غاردنر وشارك في تأليف ما لا يقل عن 800 كتاب في ميادين علمية متعددة منها العلوم والفلسفة والمنطق واشتهر بالخصوص بكتبه في الرياضيات وفي الألعاب الفكرية وقد ترجمت معظم مؤلفاته إلى لغات عديدة.
يعتبر غاردنر من بين الأوائل الذين حاولوا ووجدوا صيغة ملائمة للجمع بين التسلية والفلسفة والمنطق الرياضي. وقد أطلق عليه المعهد الأمريكي للفيزياء سنة 1983لقب الكاتب العلمي.